german-base-model-eval
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Datasets for evaluating base models on German. • 20 items • Updated
id large_string | benchmark large_string | problem large_string | answer string | original_id string | flag_for_review bool | review_reason large_string | target_language large_string | translation_confidence large_string | translation_notes large_string | required_adaptation bool | adaptation_notes large_string | preserves_formatting bool |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
aime26_0 | aime26 | Patrick begann, mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Straße von der Schule zum Park zu gehen. Eine Stunde nachdem Patrick aufgebrochen war, begann Tanja, auf derselben Straße von der Schule zum Park zu laufen. Eine Stunde nachdem Tanja aufgebrochen war, begann Josef, auf derselben Straße mit dem Fahrrad von der Schule zum Park zu fahren. Tanja lief mit einer konstanten Geschwindigkeit, die um $2$ Meilen pro Stunde höher war als Patricks Gehgeschwindigkeit, Josef fuhr mit dem Fahrrad mit einer konstanten Geschwindigkeit, die um $7$ Meilen pro Stunde höher war als Tanjas Laufgeschwindigkeit, und alle drei kamen zur gleichen Zeit am Park an. Die Entfernung von der Schule zum Park beträgt $\frac{m}{n}$ Meilen, wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $m + n$. | 277 | 1 | false | N/A | German | confident | Used standard German mathematical phrasing, e.g., 'teilerfremde positive ganze Zahlen' for 'relatively prime positive integers'. Rephrased the speed comparison slightly for better flow while maintaining exact mathematical meaning. | true | Localized names: Tanya -> Tanja, Jose -> Josef. Translated the unit 'miles' to 'Meilen' without converting the numerical values, as required for math problems. | true |
aime26_1 | aime26 | Bestimme die Anzahl der positiven ganzzahligen Palindrome zur Basis $10$, die keine Null als Ziffer enthalten und deren Ziffern die Summe $13$ ergeben. Zum Beispiel hat $42124$ diese Eigenschaften. Zur Erinnerung: Ein Palindrom ist eine Zahl, deren Darstellung von links nach rechts genauso gelesen wird wie von rechts nach links. | 62 | 2 | false | N/A | German | confident | Translated 'whose digits add up to' as 'deren Ziffern die Summe ... ergeben', which is slightly more literal and common in this context than the single word 'Quersumme', though both are mathematically accurate. | false | N/A | true |
aime26_10 | aime26 | Die ganzen Zahlen von $1$ bis $64$ werden in beliebiger Reihenfolge in ein $8 \times 8$-Gitter aus Feldern eingetragen, wobei in jedem Feld genau eine Zahl steht. Sei $a_{i,j}$ die Zahl im Feld in Zeile $i$ und Spalte $j,$ und sei $M$ die Summe der absoluten Differenzen zwischen benachbarten Feldern. Das heißt,
\[
M = \sum^8_{i=1} \sum^7_{j=1} (|a_{i,j+1} - a_{i,j}| + |a_{j+1,i} - a_{j,i}|).
\]
Bestimme den Rest bei Division des maximal möglichen Wertes von $M$ durch $1000.$ | 896 | 11 | false | N/A | German | confident | Translated 'grid of cells' to 'Gitter aus Feldern' and 'cell' to 'Feld', which is the standard idiomatic terminology for such grid problems in German mathematics competitions. | false | N/A | true |
aime26_11 | aime26 | Das Dreieck $\triangle ABC$ liegt in der Ebene $\mathcal P$ mit $AB = 6, AC = 4,$ und $\angle BAC = 90^\circ.$ Sei $D$ die Spiegelung des Schwerpunkts von $\triangle ABC$ an $\overline{BC}. {}$ Vier Kugeln, die alle auf derselben Seite von $\mathcal P$ liegen, haben die Radien $1, 2, 3,$ und $r$ und berühren $\mathcal P$ in den Punkten $A, B, C,$ bzw. $D.$ Die vier Kugeln berühren zudem jeweils eine zweite Ebene $\mathcal T$ und liegen alle auf derselben Seite von $\mathcal T.$ Der Wert von $r$ kann als $\tfrac mn$ geschrieben werden, wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $m+n.$ | 161 | 12 | false | N/A | German | confident | Translated 'respectively' as 'bzw.' (beziehungsweise), which is the standard convention in German mathematical writing for listing corresponding elements. | false | N/A | true |
aime26_12 | aime26 | Für jede positive ganze Zahl $r$ kleiner als $502,$ sei
\[
S_r=\sum_{m\ge 0}\dbinom{10000}{502n+r},
\]
wobei $\binom{10000}{n}$ als $0$ definiert ist, wenn $n>10000.$ Das heißt, $S_r$ ist die Summe aller Binomialkoeffizienten der Form $\binom{10000}{k}$, für die Folgendes gilt: $0\le k\le 10000$ und $k-r$ ist ein Vielfaches von $502.$ Von den ganzen Zahlen in der Liste $S_0,S_1,\dots,S_{501}$ bestimme die Anzahl der Vielfachen der Primzahl $503.$ | 39 | 13 | true | The original mathematical problem contains a typo in the LaTeX formula: it sums over `m \ge 0` but the variable in the binomial coefficient is `n` (`502n+r`). It should likely be `n \ge 0` or `502m+r` to make sense mathematically. | German | confident | Restructured the sentences slightly to accommodate the hardcoded punctuation marks (like periods and commas) within the LaTeX blocks, ensuring the translated sentences end exactly where the LaTeX periods are without breaking German grammatical rules. | false | N/A | true |
aime26_13 | aime26 | In einem gleichwinkligen Fünfeck beträgt die Summe der Quadrate der Seitenlängen $308,$ und die Summe der Quadrate der Diagonallängen $800.$ Das Quadrat des Umfangs des Fünfecks kann in der Form $m \sqrt n,$ geschrieben werden, wobei $m$ und $n$ positive ganze Zahlen sind und $n$ nicht durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist. Bestimme $m + n.$ | 681 | 14 | false | N/A | German | direct | N/A | false | N/A | true |
aime26_14 | aime26 | Seien $a, b,$ und $n$ positive ganze Zahlen, wobei sowohl $a$ als auch $b$ größer oder gleich $2$ und kleiner oder gleich $2n$ sind. Definiere eine $a \times b$-Zellenschleife in einem $2n \times 2n$-Zellengitter als die $2a + 2b - 4$ Zellen, die ein (möglicherweise leeres) $(a - 2) \times (b - 2)$-Rechteck aus Zellen im Gitter umgeben. Zum Beispiel zeigt das folgende Diagramm eine Möglichkeit, ein $6 \times 6$-Zellengitter in $4$ Zellenschleifen zu zerlegen.
| P P P P | Y Y |
| P | R R | P | Y | Y |
| P | R R | P | Y | Y |
| P P P P | Y | Y |
| G G G G | Y | Y |
| G G G G | Y Y |
Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, ein $10 \times 10$-Zellengitter so in $5$ Zellenschleifen zu zerlegen, dass jede Zelle des Gitters zu genau einer Zellenschleife gehört. | 83 | 15 | false | N/A | German | confident | Translated 'cell loop' as 'Zellenschleife' and 'partition' as 'zerlegen', which are standard geometric/combinatorial terms in German. | false | N/A | true |
aime26_15 | aime26 | Bestimme die Summe der $10$-ten Glieder aller arithmetischen Folgen ganzer Zahlen, deren erstes Glied gleich $4$ ist und die sowohl $24$ als auch $34$ als Glieder enthalten. | 178 | 16 | false | N/A | German | confident | Translated the English ordinal suffix 'th' outside the LaTeX to the German equivalent '-ten'. | false | N/A | true |
aime26_16 | aime26 | Die Abbildung unten zeigt ein Gitter aus $10$ Quadraten in einer Reihe. Jedes Quadrat hat eine Diagonale, die seinen unteren linken Eckpunkt mit seinem oberen rechten Eckpunkt verbindet. Ein Käfer bewegt sich entlang der Strecken von Eckpunkt zu Eckpunkt, wobei er niemals dieselbe Strecke zweimal durchläuft und sich auf einer horizontalen oder diagonalen Strecke niemals von rechts nach links bewegt. Sei $N$ die Anzahl der Wege, die der Käfer von der unteren linken Ecke ($A$) zur oberen rechten Ecke ($B$) nehmen kann. Ein solcher Weg von $A$ nach $B$ wird in der Abbildung durch die dicken Strecken dargestellt. Bestimme $\sqrt{N}$.
[asy]
size(12cm);
draw((0, 0)--(0, 1));
for (int i = 0; i <= 9; i += 1)
{
draw((i, 1)--(i + 1, 1)--(i + 1, 0)--(i, 0)--(i + 1, 1));
}
draw((0, 0)--(0, 1)--(2, 1)--(2, 0)--(3, 1)--(3, 0)--(4, 1)--(4, 0)--(5, 0)--(5, 1)--(6, 1)--(6, 0)--(7, 1)--(8, 1)--(8, 0)--(10, 0)--(10, 1), red + linewidth(2));
label("$A$", (0, 0), dir(180));
label("$B$", (10, 1), dir(0));
[/asy] | 243 | 17 | false | N/A | German | confident | Translated 'line segments' to 'Strecken' as is customary in German geometry contexts. | false | N/A | true |
aime26_17 | aime26 | Sei $ABCDE$ ein nicht-konvexes Fünfeck mit den Innenwinkeln $\angle A = \angle E = 90^\circ$ und $\angle B = \angle D = 45^\circ.$ Es gelte $DE < AB, AE = 20, BC = 14\sqrt2,$ und die Punkte $B,C,$ und $D$ liegen auf derselben Seite der Geraden $AE.$ Weiterhin sei $AB$ eine ganze Zahl mit $AB < 2026$ und der Flächeninhalt des Fünfecks $ABCDE$ ein ganzzahliges Vielfaches von $16.$ Bestimme die Anzahl der möglichen Werte von $AB.$ | 503 | 18 | false | N/A | German | confident | The Oxford comma inside the LaTeX block `$B,C,$` was preserved as required by the instruction to keep all LaTeX exactly as-is, despite it being slightly unidiomatic before 'und' in German. | false | N/A | true |
aime26_18 | aime26 | Für jede positive ganze Zahl $n$ sei $f(n)$ der Wert der Dezimaldarstellung von $n$, wenn diese als Zahldarstellung zur Basis $b$ aufgefasst wird, wobei $b$ die kleinste ganze Zahl größer als die größte Ziffer in $n$ ist. Ist zum Beispiel $n=72$, so ist $b=8$, und $72$ als Zahldarstellung zur Basis $8$ ist gleich $7\cdot 8+2=58$; daher ist $f(72)=58$. Bestimme die Anzahl der positiven ganzen Zahlen $n$ kleiner als $1000$, für die $f(n)=n$ gilt. | 279 | 19 | false | N/A | German | confident | Translated 'base-ten numeral' as 'Dezimaldarstellung' (decimal representation) and 'viewed in base $b$' as 'als Zahldarstellung zur Basis $b$ aufgefasst' (interpreted as a numeral in base $b$) for natural mathematical phrasing in German. | false | N/A | true |
aime26_19 | aime26 | Eine Urne enthält $n$ Murmeln. Jede Murmel ist entweder rot oder blau, und es gibt mindestens $7$ Murmeln jeder Farbe. Wenn $7$ Murmeln zufällig und ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen werden, ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau $4$ davon rot sind, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass genau $5$ davon rot sind. Bestimme die Summe der fünf kleinsten Werte von $n$, für die dies möglich ist. | 190 | 20 | false | N/A | German | confident | N/A | false | N/A | true |
aime26_2 | aime26 | Eine Halbkugel mit Radius $200$ liegt auf einer horizontalen Kreisscheibe mit Radius $200,$ und die Halbkugel und die Scheibe haben denselben Mittelpunkt. Sei $\mathcal T$ der Bereich der Punkte P in der Scheibe, sodass eine Kugel mit Radius $42$ im Punkt $P$ auf die Scheibe gelegt werden kann und vollständig innerhalb der Halbkugel liegt. Der Flächeninhalt von $\mathcal T$ geteilt durch den Flächeninhalt der Scheibe ist $\tfrac pq,$ wobei $p$ und $q$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $p+q.$ | 79 | 3 | false | N/A | German | confident | N/A | false | N/A | true |
aime26_20 | aime26 | Bestimme die Summe aller reellen Zahlen $r$, für die der Kreis mit Radius $r$ und Mittelpunkt $(4, 39)$ die Parabel mit der Gleichung $2y = x^2 - 8x + 12.$ in mindestens einem Punkt tangiert. | 50 | 21 | false | N/A | German | direct | Used standard German mathematical phrasing ('in mindestens einem Punkt tangiert' for 'there is at least one point where... is tangent'). | false | N/A | true |
aime26_21 | aime26 | Ein fairer, sechsseitiger Standardwürfel wird wiederholt geworfen. Jedes Mal, wenn der Würfel eine 1 oder 2 zeigt, erhält Anna eine Münze; jedes Mal, wenn er eine 3 oder 4 zeigt, erhält Bernd eine Münze; und jedes Mal, wenn er eine 5 oder 6 zeigt, erhält Clara eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna und Bernd jeweils mindestens zwei Münzen erhalten, bevor Clara eine Münze erhält, kann als $\tfrac{m}{n}$ geschrieben werden, wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $100m+n.$ | 754 | 22 | false | N/A | German | confident | N/A | true | Changed Alice, Bob, and Carol to Anna, Bernd, and Clara to use culturally natural German names while preserving the A, B, C initials. | true |
aime26_22 | aime26 | Das gleichschenklige Dreieck $\triangle ABC$ hat $AB = BC.$ Sei $I$ der Inkreismittelpunkt von $\triangle ABC.$ Die Umfänge von $\triangle ABC$ und $\triangle AIC$ stehen im Verhältnis $125:6,$ und alle Seiten beider Dreiecke haben ganzzahlige Längen. Bestimme den kleinstmöglichen Wert von $AB.$ | 245 | 23 | false | N/A | German | confident | N/A | false | N/A | true |
aime26_23 | aime26 | Sei $S$ der Wert der unendlichen Summe
\[
\frac{1}{9} + \frac{1}{99} + \frac{1}{999} + \frac{1}{9999} + \cdots
\]
Bestimme den Rest, wenn die größte ganze Zahl kleiner oder gleich $10^{100} S$ durch $1000$ geteilt wird. | 669 | 24 | false | N/A | German | direct | N/A | false | N/A | true |
aime26_24 | aime26 | Sei $\triangle ABC$ ein Dreieck mit $D$ auf $\overline{BC}$, sodass $\overline{AD}$ die Winkelhalbierende ist von $\angle BAC.$ Sei $\omega$ der Kreis, der durch $A$ verläuft und die Strecke $\overline{BC}$ berührt im Punkt $D.$ Seien $E \neq A$ und $F \neq A$ die jeweiligen Schnittpunkte von $\omega$ mit den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC},$ in dieser Reihenfolge. Angenommen, es gilt $AB = 200, AC = 225,$ und die Längen $AE, AF, BD,$ und $CD$ sind allesamt positive ganze Zahlen. Bestimme die Summe aller möglichen Werte von $BC.$ | 850 | 25 | false | N/A | German | direct | The sentence structure was carefully adapted (e.g., using the 'Nachfeld' for prepositional phrases) so that the periods and commas strictly embedded within the LaTeX blocks serve naturally as the correct punctuation marks for the German sentences. | false | N/A | true |
aime26_25 | aime26 | Bestimme die größte ganze Zahl $n$, sodass das kubische Polynom
\[
x^{3} - \displaystyle\frac{n}{6}x^{2} + (n - 11)x - 400
\]
die Nullstellen $\alpha^{2}$, $\beta^{2}$ und $\gamma^{2}$ hat, wobei $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ komplexe Zahlen sind und es genau sieben verschiedene mögliche Werte für $\alpha + \beta + \gamma$ gibt. | 132 | 26 | false | N/A | German | confident | Translated 'roots' of a polynomial to 'Nullstellen', which is the standard German mathematical term. | false | N/A | true |
aime26_26 | aime26 | Betrachte ein Tetraeder mit zwei gleichschenkligen dreieckigen Seitenflächen mit den Seitenlängen $5\sqrt{10}, 5\sqrt{10},$ und $10$ sowie zwei gleichschenkligen dreieckigen Seitenflächen mit den Seitenlängen $5\sqrt{10}, 5\sqrt{10},$ und $18.$ Die vier Eckpunkte des Tetraeders liegen auf einer Kugel mit Mittelpunkt $S,$ und die vier Seitenflächen des Tetraeders berühren eine Kugel mit Mittelpunkt $R.$ Der Abstand $RS$ lässt sich schreiben als $\tfrac{m}{n},$ wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $m + n.$ | 223 | 27 | false | N/A | German | confident | Used 'sowie' for the second 'and' to avoid awkward repetition in the list of faces. Preserved all LaTeX punctuation perfectly embedded within the sentence structure. | false | N/A | true |
aime26_27 | aime26 | Zwei endliche Mengen ganzer Zahlen $S$ und $T$ heißen Cousins, wenn
- $S$ und $T$ gleich viele Elemente haben,
- $S$ und $T$ disjunkt sind und
- die Elemente von $S$ so mit den Elementen von $T$ gepaart werden können, dass sich die Elemente in jedem Paar um genau $1$ unterscheiden.
Zum Beispiel sind $\{1,2,5\}$ und $\{0,3,4\}$ Cousins. Angenommen, die Menge $S$ hat genau $4040$ Cousins. Bestimme die kleinstmögliche Anzahl an Elementen, die die Menge $S$ haben kann. | 107 | 28 | false | N/A | German | confident | Used standard German mathematical phrasing 'Zwei Mengen ... heißen Cousins, wenn' for 'Call ... cousins if'. | false | N/A | true |
aime26_28 | aime26 | Für ganze Zahlen $a$ und $b$ sei $a \circ b = a - b$, wenn $a$ ungerade und $b$ gerade ist, und ansonsten $a+b$. Bestimme die Anzahl der Folgen $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ positiver ganzer Zahlen, für die
\[
a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = 12 \quad \text{und} \quad a_1 \circ a_2 \circ a_3 \circ \cdots \circ a_n = 0
\]
gilt, wobei die Operationen von links nach rechts ausgeführt werden; das heißt, $a_1 \circ a_2 \circ a_3$ bedeutet $(a_1 \circ a_2) \circ a_3.$ | 157 | 29 | false | N/A | German | confident | Translated '\text{and}' to '\text{und}' inside the LaTeX display equation to maintain correct German text. Added the verb 'gilt' after the display equation for grammatical correctness in German. | false | N/A | true |
aime26_29 | aime26 | Bestimme die Anzahl der geordneten 7-Tupel $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_7)$ mit den folgenden Eigenschaften:
- $a_k \in \{1,2,3\}$ für alle $k.$
- $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7$ ist ein Vielfaches von $3.$
- $a_1a_2 a_4 + a_2a_3a_5 + a_3a_4 a_6 + a_4 a_5 a_7 + a_5 a_6 a_1 + a_6 a_7 a_2 + a_7 a_1 a_3$ ist ein Vielfaches von $3.$ | 393 | 30 | false | N/A | German | direct | N/A | false | N/A | true |
aime26_3 | aime26 | Bestimme die Anzahl der ganzen Zahlen kleiner oder gleich 100, die für eine Wahl verschiedener positiver ganzer Zahlen a und b gleich $a+b+ab$ sind. | 70 | 4 | false | N/A | German | direct | Translated 'Find' with 'Bestimme', which is the standard imperative used in German mathematics competitions. 'for some choice of' translates naturally to 'für eine Wahl' or 'für eine geeignete Wahl'. | false | N/A | true |
aime26_4 | aime26 | Eine Ebene enthält die Punkte $A$ und $B$ mit $AB = 1$. Der Punkt $A$ wird in der Ebene gegen den Uhrzeigersinn um einen spitzen Winkel $\theta$ um den Punkt $B$ auf den Punkt $A^\prime$ gedreht. Dann wird $B$ in der Ebene im Uhrzeigersinn um den Winkel $\theta$ um den Punkt $A^\prime$ auf den Punkt $B^\prime$ gedreht. Angenommen, es gilt $AB^\prime = \frac{4}{3}$. Der Wert von $\cos \theta$ kann als $\frac{m}{n}$ geschrieben werden, wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $m + n$. | 65 | 5 | false | N/A | German | confident | N/A | false | N/A | true |
aime26_5 | aime26 | Eine reelle Zahl $x$ erfüllt $\sqrt[20]{x^{\log_{2026}x}}=26x$. Wie viele positive Teiler hat das Produkt aller möglichen positiven Werte von $x$? | 441 | 6 | false | N/A | German | confident | Translated 'What is the number of positive divisors' idiomatically to 'Wie viele positive Teiler hat'. | false | N/A | true |
aime26_6 | aime26 | Bestimme die Anzahl der Funktionen $\pi$, die die Menge $A =\{1,2,3,4,5,6\}$ auf $A$ abbilden, sodass für jedes $a \in A$ gilt:
\[
\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(\pi(a)))))) = a.
\] | 396 | 7 | false | N/A | German | direct | 'onto' is translated as 'auf' to correctly convey mathematical surjectivity. Added 'gilt:' to naturally integrate the block equation into the German sentence structure. | false | N/A | true |
aime26_7 | aime26 | Sei $N$ die Anzahl der positiven ganzzahligen Teiler von $17017^{17}$, die bei der Division durch $12$ den Rest $5$ lassen. Bestimme den Rest bei der Division von $N$ durch $1000$. | 244 | 8 | false | N/A | German | confident | N/A | false | N/A | true |
aime26_8 | aime26 | Johanna hat einen unbeschrifteten, fairen, sechsseitigen Würfel und sechs Aufkleber, die jeweils eine andere ganze Zahl von 1 bis 6 zeigen. Johanna wirft den Würfel und klebt dann den Aufkleber mit der 1 auf die obere Seite des Würfels. Danach wirft sie den Würfel erneut, klebt den Aufkleber mit der 2 auf die obere Seite und setzt diesen Prozess fort, um die restlichen Aufkleber der Reihe nach anzubringen. Falls der Würfel jemals so landet, dass sich bereits ein Aufkleber auf der Oberseite befindet, wird der neue Aufkleber so platziert, dass er den alten Aufkleber verdeckt. Sei $p$ die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Prozesses genau eine Seite unbeschriftet geblieben ist, unter der Bedingung, dass alle geradzahligen Aufkleber auf den Seiten des Würfels sichtbar sind. Dann kann $p$ als $\tfrac mn$ geschrieben werden, wobei $m$ und $n$ teilerfremde positive ganze Zahlen sind. Bestimme $m + n.$ | 29 | 9 | false | N/A | German | confident | Used standard German mathematical phrasing (e.g., 'bedingte Wahrscheinlichkeit' for conditional probability, 'teilerfremde positive ganze Zahlen' for relatively prime positive integers). | true | Changed the name 'Joanne' to the German equivalent 'Johanna'. Translated 'blank' die to 'unbeschrifteten' (unlabelled/blank) which is standard in this context. | true |
aime26_9 | aime26 | Sei $\triangle ABC$ ein Dreieck mit den Seitenlängen $AB = 13, BC = 14,$ und $CA = 15.$ Das Dreieck $\triangle A'B'C'$ entsteht durch Drehung von $\triangle ABC$ um seinen Umkreismittelpunkt, sodass gilt: ${}\overline{AC}$ ist senkrecht zu $\overline{BC},$ wobei $A'$ und $B$ nicht auf derselben Seite der Geraden $B'C'$ liegen. Bestimme die ganze Zahl, die dem Flächeninhalt des Sechsecks $AA'CC'BB'$ am nächsten liegt. | 156 | 10 | true | The original text contains a mathematical error/typo: 'so that ${}\overline{AC}$ is perpendicular $\overline{BC}$' makes no sense because $\overline{AC}$ and $\overline{BC}$ are fixed sides of the 13-14-15 triangle and are not perpendicular. It should likely be $\overline{A'C'}$. Additionally, the word 'to' is missing in the English text ('perpendicular \overline{BC}'). | German | confident | Used 'sodass gilt:' to elegantly incorporate the trailing comma embedded in the math mode `\overline{BC},` without breaking German grammar rules. | false | N/A | true |
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